Задача трох цел

Прыблізныя траекторыі трох аднолькавых цел, якія знаходзіліся ў вяршынях няроўнастаронняга трохвугольніка і валодалі нулявымі пачатковымі скарасцямі

Задача трох цел (у астраноміі) — асобная задача нябеснай механікі, якая заключаецца ў вызначэнні адноснага руху трох цел (матэрыяльных кропак), якія ўзаемадзейнічаюць па законе прыцягнення Ньютана (напрыклад, Сонца, Зямлі і Месяца). У агульным выпадку не існуе рашэння гэтай задачы ў выглядзе канечных аналітычных выразаў. Вядома толькі 5 дакладных рашэнняў для спецыяльных пачатковых скарасцей і каардынат аб’ектаў.

Матэматычная фармуліроўка

Агульная задача трох цел у нябеснай механіцы з’яўляецца задачай з пачатковымі ўмовамі для сістэмы звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў. Для зададзеных пачатковых умоў $q_{j}(0),\quad {\dot {q}}_{j}(0),j=1,\ldots ,3$ і $q_{j}(0)\neq q_{k}(0)$ для розных j і k, трэба знайсці рашэнне сістэмы ўраўненняў другога парадку

$m_{j}{\ddot {q_{j}}}=\gamma \sum \limits _{k\neq j}^{3}{\frac {m_{j}m_{k}({q_{j}}-{q_{k}})}{|q_{j}-q_{k}|^{3}}},\qquad j=1,\ldots ,3\qquad \qquad \qquad (1)$

дзе $m_{1},m_{2},m_{3}$ — масы цел, і $q_{1},q_{2},q_{3}$ — іх трохмерныя вектарныя функцыі, якія залежаць ад часу t і апісваюць становішча гэтых мас.

Прыватныя рашэння

Ва ўсіх пяці вядомых на дадзены момант дакладных рашэннях адносіны адлегласцей паміж целамі застаюцца нязменнымі.

Першыя тры рашэнні былі знойдзеныя Эйлерам. Яны маюць месца, калі ўсе тры целы знаходзяцца на адной прамой. У гэтым выпадку маюць месца 3 магчымыя паслядоўнасці размяшчэння (трэцяе цела знаходзіцца паміж двума іншымі, альбо злева або справа ад абодвух). Такі рух называецца калінеарным.

Яшчэ два рашэнні знайшоў у 1772 Лагранж. У іх трохвугольнік, утвораны целамі, захоўвае роўнастароннасць, калі круціцца ў прасторы або па гадзіннікавай стрэлцы, альбо супраць гадзіннікавай стрэлкі.

У 2013 сербскія навукоўцы прадставілі 13 новых асобных рашэнняў для задачы трох цел, пры якіх рух сістэмы з трох аднолькавых па масе аб’ектаў будзе адбывацца ў перыядычным цыкле.

Агульны выпадак

Адносна агульнага выпадку Веерштрас прапанаваў такую задачу

Няхай дадзена сістэма адвольнага ліку матэрыяльных пунктаў, якія ўзаемадзейнічаюць па законе Ньютана. Патрабуецца, пры дапушчэнні, што не адбудзецца сутыкнення якіх-небудзь дзвюх кропак, прадставіць каардынаты кожнай кропкі ў выглядзе радоў па якіх-небудзь неперарыўных функцыях часу, раўнамерна збежных для ўсіх рэчаісных значэнняў гэтай зменнай.

Прыблізнае рашэнне

Відаць, сам Веерштрас, абапіраючыся на сваю знакамітую тэарэму аб апраксімацыі адвольнай функцыі паліномамі, хацеў атрымаць выраз для каардынат цел у выглядзе

$\lim \limits _{n\rightarrow \infty }P_{n}(t),$

дзе $P_{n}$ — некаторыя паліномы. Існаванне такіх паліномаў адразу вынікае з неперарыўнасці рашэння, але знайсці канструктыўны спосаб адшукання паліномаў да гэтага часу не ўдалося.

Дакладнае рашэнне

Брунс і Пуанкарэ даказалі, што сістэму дыферэнцыяльных ураўненняў для руху трох цел немагчыма звесці да інтэгравальнай, расклаўшы яе на незалежныя ўраўненні. Адкрыццё паказала, што дынамічныя сістэмы не ізаморфныя. Простыя інтэграваныя сістэмы дапускаюць раскладанне на падсістэмы, якія не ўзаемадзейнічаюць, але ў агульным выпадку выключыць узаемадзеяння немагчыма.

Гл. таксама

• Задача двух цел
• Гравітацыйная задача N цел